Мало
какому числу из всех чисел, которые используются
в математике, в естественных науках, в инженерном
деле и в повседневной жизни, уделяется столько
внимания, сколько уделяется числу p («пи»). В
одной книге говорится: «Число p захватывает умы
гениев науки и математиков-любителей во всем мире»
(«Fractals for the Classroom»). Некоторые даже
считают его одним из пяти важнейших чисел в математике.
Число p - это отношение длины окружности к ее
диаметру. Вы можете вычислить длину окружности
абсолютно любого круга, независимо от его радиуса.
Для этого нужно умножить диаметр этого круга на
p. Греческой буквой p это отношение впервые обозначил
в 1706 году английский математик Уильям Джонс,
а после того, как в 1737 году это обозначение
позаимствовал швейцарский математик Леонард Эйлер,
оно стало общепринятым.
Для многих практических целей вполне достаточно
использовать шесть знаков числа p (p=3,14159).
Точное же значение числа p вычислить невозможно.
Почему? Потому что это иррациональное число, то
есть его нельзя написать в виде простой дроби.
А если записывать его в виде десятичной дроби,
то она будет бесконечной. Число p можно вычислять
бесконечно, и у него будет бесконечно много десятичных
знаков. Это, однако, не удерживает математиков
от утомительных попыток вычислить как можно больше
десятичных знаков числа p.
Неизвестно, кто первым обнаружил, что число p
остается постоянной величиной, не зависящей от
радиуса круга. Но точное значение числа p пытались
вычислить еще в глубокой древности. Вавилоняне
нашли приближение, равное 3 1/8 (3,125). Египтяне
были чуть менее точными и нашли приближенное значение
p, равное 3,16. В III веке до н.э. греческий математик
Архимед предпринял, вероятно, первую научную попытку
вычислить число p. По его подсчетам p приблизительно
равнялось 3,14. К 200 году н.э. путем вычислений
пришли к приближенному значению 3,1416, и к началу
VI века н.э. это значение независимо друг от друга
подтвердили китайские и индийские математики.
В наши дни с помощью мощных компьютеров вычислили
миллиарды десятичных знаков числа p. Но, как отмечается
в книге «Fractals for the Classroom», при всей
важности числа p «трудно найти сферы в научных
расчетах, где потребовалось бы больше двадцати
десятичных знаков p».
Число p появляется в формулах, используемых во
многих сферах. Физика, элетротехника, электроника,
теория вероятностей, строительство и навигация
- это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно
тому как нет конца знакам числа p, так нет конца
и возможностям практического применения этого
полезного, неуловимого числа p
Классический научно-фантастический роман Карла
Сагана Контакт заканчивается тем, что его героиня
находит послание внеземного разума, запрятанное
внутри знаков числа $\pi$. Двое математиков -
Дэвид Бэйли (Lawrence Berkeley NL, Калифорния)
и Ричард Крандалл (Reed College, Орегон) - сделали
важный шаг в строгом доказательстве того, что
$\pi$ содержит не какое-то одно сообщение, а вообще
любое (в том числе и любое осмысленное)1.
Эти математики показали, что десятичное разложение
$\pi$ содержит любую целочисленную строку. Они
также пришли к предварительному выводу, что все
строки одинаковой длины встречаются внутри $\pi$
с одинаковой частотой: 87435 появляется так же
часто как 30752, а 451 как 862 и т.п., - это свойство
называют нормальностью.
Пи - это отношение длины окружности к ее диаметру.
В конце 18 века Ламберт и Лежандр установили,
что $\pi$ - иррациональное число, а в 19 веке
Линдеман доказал, что оно трансцендентное.
Является ли разложение $\pi$ случайным или упорядоченным
- это одна из труднейших проблем математики. Бэйли
и Крандалл показали, что нормальность $\pi$ будет
строго установлена, если удастся доказать теорему
из совсем другой области - теории хаоса.
"Мы не доказали нормальности $\pi$, но мы
нашли путь к этому," - говорит Бэйли. Пройти
эту дорогу до конца может быть и трудно, но он
надеется доказать по крайней мере упрощенную гипотезу
о хаосе в течение нескольких лет.
Среди математиков идет соревнование за вычисление
наибольшего числа десятичных знаков $\pi$. Последний
рекорд, достигнутый на суперкомпьютерах - это
500 млрд. знаков.
Новая работа появилась благодаря удивительной
формуле, открытой Бэйли с соавторами в 1996 г.
Эта формула позволяет вычислять любую цифру $\pi$,
не зная предыдущих цифр!
Десятичное разложение $\pi$ начинается со всем
знакомых цифр ("это я знаю и помню прекрасно
- пи многие знаки мне лишни, напрасны...")
3.1415926535897929.... Рассмотрим последовательность
0.314, 0.141, 0.415, 0.159, 0.926, 0.265, 0.653,
0.535, 0.358, 0.589, 0.897, 0.979, 0.792, 0.929...,
полученную из последовательных троек цифр $\pi$.
Если эти числа хаотически (равновероятно) заполняют
интервал между нулем и единицей, то с помощью
формулы 1996 г. можно строго доказать, что $\pi$
нормально - это и есть мостик между теорией чисел
и теорией беспорядка, построенный Бэйли и Крандаллом
(вместо десятичного, они пользовались двоичным
разложением $\pi$).
Если $\pi$ и в самом деле нормально, то поиск
сообщения внутри него будет похож на поиск смысла
в книгах Вавилонской библиотеки, созданной воображением
писателя-ультраиста Хорхе Луиса Борхеса. Книги
там содержат все произвольные комбинации букв
и знаков препинания.
Конечно, найти космическое послание внутри $\pi$
тогда будет невозможно. Однако случайность цифр
$\pi$ можно использовать для шифровки других сообщений.
Надо превратить послание в последовательность
нулей и единиц (например, в любой компьютерной
кодировке букв), затем взять строку с какого-то
места в двоичном разложении $\pi$ и зашифровать
сообщение, прибавив цифры $\pi$ к цифрам сообщения
по модулю 2. Только тот, кто знает, с какого места
в разложении $\pi$ начинается строка-ключ, сможет
прочесть сообщение (нуль - там, где цифра из $\pi$
не изменилась и единица в противном случае). Благодаря
формуле Бэйли и др. 1996 г. ключевой номер может
стоять в "триллион триллионной" или
более далекой позиции в $\pi$, так что перебором
его найти практически нельзя. А без знания этого
номера внутри $\pi$ ничего расшифровать не удастся
- ведь любая "испорченная" строка тоже
наверняка есть в разложении $\pi$ в каком-то другом
месте. Лучше сказать: в бесконечном числе других
мест!
|
