День
числа пи отмечается некоторыми математиками 14
марта в 1:59 (в американской системе записи дат
— 3/14; первые разряды числа ? = 3,14159). Обычно
празднуют в 1:59 дня (в 12-часовой системе), но
придерживающиеся 24-часовой системы считают, что
это 13:59, и предпочитают отмечать ночью.
В это время читают хвалебные речи в честь числа
?, его роли в жизни человечества, рисуют антиутопические
картины мира без ?, едят пи-рог (pie), пьют напитки
и играют в игры, начинающиеся на «пи».
14 марта родился Альберт Эйнштейн.
Празднуют и день приближённого значения ? — 22
июля (22/7).
В преддверии самого замечательного праздника,
дня числа Пи, отмечаемого, естественно, четырнадцатого
числа третьего месяца, позвольте пригласить вас
в Пи-клуб (не путать с Пиквикским и клубом любителей
пива, хотя членство в них допускается). Кто же
является членом самого престижного клуба. Во-первых,
конечно, все Петры Ильичи, Пал Иванычи, Пулаты
Ибрагимовичи и Пелагеи Иннокентьевны плюс Пироговы,
Пилюлькины, Пинхасовы и Писаренки плюс любители
пикников с пирожными и пирожков с пивом - они
зачисляются автоматически. Так же как и пианисты,
пилигримы, писатели и прочие пигмеи, вопрос о
пионерах и пиратах пока не решен. Ну и конечно
все, кто хоть раз проводил окружность и задумался
о таинственном и непредсказуемом числе Пи. И все,
кто согласен с тем, что день Пи самый естественный,
и потому - настоящий праздник, не притянутый к
каким-то датам, персоналиям и предрассудкам, постепенно
он станет самым отмечаемым из всех остальных,
хоть пока и рабочий день.
В первом зале, естественно, само число Пи. Рассмотрите
внимательно, его первые тысячи знаков, проникнитесь
поэзией этих цифр, ведь за ними стоят история
нашей цивилизации, жизни сотен лучших умов человечества
и тайна устройства мироздания. Есть гипотезы,
предполагающие, что в числе Пи скрыта любая информация,
которая когда либо была или будет доступна людям.
С появлением компьютеров темпы возросли:
1949 год- 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман,
ENIAC),
1958 год- 10000 десятичных знаков (Ф.Женюи, IBM-704),
1961 год- 100000 десятичных знаков (Д.Шенкс, IBM-7090),
1973 год- 10000000 десятичных знаков (Ж.Гийу,
М.Буйе, CDC-7600),
1986 год- 29360000 десятичных знаков (Д.Бейли,
Cray-2),
1987 год- 134217000 десятичных знаков (Т.Канада,
NEC SX2),
1989 год- 1011196691 десятичных знаков (Д.Чудновски
и Г.Чудновски, Cray-2+IBM-3040) Они же добились
в 1991 году 2260000000 знаков, а в 1994 году -
4044000000 знаков.
Дальнейшие рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада:
в 1995 году 4294967286 знаков, в 1997 - 51539600000,
и, последний на сегодня рекорд 206.158.430.000
знаков. Суперкомпьютер (проект HINTS - High-performance
Numerical Tools & Software для сверхмощных
научных и инженерных вычислений http://www.hints.org/HINTSw.html)
в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минуту
4 секунды используя 865 Гигабайт памяти для основной
задачи и 46 часов, 816 Гигабайт для вспомогательной
оптимизации вычислений. Подробнее на http://pw1.netcom.com/~hjsmith/Pi/Rec206.html
Следующий зал посвящен методам вычислений Пи.
Начиная с Архимеда математики вписывали в круг
правильный многоугольник и находили отношение
периметра к радиусу. Например, в первой половине
XV в. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда,
астроном и математик ал-Каши вычислил число Пи
с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений
числа сторон многоугольников и дошел до многоугольника,
имеющего 3*228 углов. http://mathc.chat.ru/hist/pihist.htm
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашел
число Пи только с 9 правильными десятичными знаками,
сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников.
Но при этом Ф.Виет первым заметил, что число Пи
можно отыскать, используя пределы некоторых рядов.
Это открытие имело огромное значение, так как
позволило вычислять Пи с какой угодно точностью.
Однако только через 250 лет после ал-Каши его
результат был превзойден. Так Г.Лейбниц получил
в 1674г. ряд Пи/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11…
В Сети много страниц, посвященных вычислению
Пи, отметим лишь, что на http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node12.html
расположена программа, написанная Диком Т. Винтером
(Dik T. Winter at CWI) на Си всего 160-ю символами,
но вычисляющая 800 знаков Пи!
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;
for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,
f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}
На этом общеознакомительная часть знакомства
с Пи, вероятно известная уже любителям математики,
заканчивается и начинаются изысканные угощения
для настоящих ценителей. К известным методам уточнения
Пи (подбором деления пар чисел, вписывания в круг
многоугольника и вычисления сумм рядов) во второй
половине прошлого века добавились еще три, которые
можно назвать экспериментальными. Первый, так
называемый "метод иглы Бюффона". В нем
на разлинованную равноудаленными прямыми плоскость
произвольно бросается игла, длина которой равна
половине расстояния между соседними прямыми. (Так
что игла либо не пересекает прямые, либо пересекает
ровно одну при каждом бросании). Можно доказать,
что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь
линией к общему числу бросаний стремится к Пи
при увеличении числа бросаний до бесконечности.
Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить
более-менее приличную точность приближения полученной
дроби к Пи, а кроме того, при эксперименте надо
внимательно следить, чтобы бросание иглы было
"равновероятным": метод иглы Бюффона
существенным образом базируется на методах теории
вероятностей. Подробности смотрите в журнале «Hard’n’Soft”
№8 2001, статья Андрея Теплякова “Моделируя жизнь”,
где успешно подтвердили первые знаки с помощью
метода Монте-Карло.
Второй метод, придуманный Г.А. Гальпериным, и
называемый Пи-биллиардом, основан на оригинальной
модели. При столкновении двух шаров, меньший из
которых находится между большим и стенкой, и больший
движется к стенке, число соударений шаров позволяет
вычислить Пи со сколь угодно большой наперед заданной
точностью. Надо только запустить процесс (можно
и на компьютере) и посчитать число ударов шаров.
Подробное описание метода с обоснованием его смотрите
на http://phys.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=pi.html
Для третьего метода предлагаю воспользуемся известным
предположением теории чисел: вероятность, что
два числа взаимно просты равна 6/Пи2 Взаимно простыми
называются числа, не имеющие общих делителей (для
строгости обычно добавляют “кроме единицы”). Какой
же алгоритм наших действий? Берем два случайных
числа, находим их делители и сравниваем их. Повторяя
процесс в цикле, вычисляем долю шагов цикла (от
общего числа шагов), при которых числа не имели
общих делителей. Разделив 6 на эту долю и извлеча
(есть такое слово?) квадратный корень из частного,
получим искомое значение Пи. Как это все сделать
и что в результате получилось смотрите здесь.
Устали? Отвлечемся от вычислений. И подумаем,
как легче запомнить значение Пи? Это можно сделать,
например, с помощью старинного двустишья. Оно
написано по правилам старой русской орфографии,
по которой после согласной в конце слова обязательно
ставился "мягкий" или "твердый"
знак. Вот оно, это двустишие:
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ "Пи" узнать
число - ужъ знаетъ.
Количество букв в каждом слове равно соответствующей
цифре числа Пи, проверьте! Первую тройку, естественно,
отделите точкой. http://ruslit.ioso.ru/num_pi.htm
Вроде все просто, но «Знатоки на Волге», точнее
на http://znv.renet.ru/archive/1999/11/177.htm,
разбираясь в этом стишке, умудрились запутаться
и забраться в немыслимые дебри. А почему, собственно,
мы должны пользоваться дореволюционными стихами?
Ведь это же не сложно, написать такое стихотворение!
Присылайте, размещу в клубе, прославитесь.
|
