История
числа p, выражающего отношение длины окружности
к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь
круга диаметром d египетские математики определяли
как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных
символах). Из приведенного выражения можно заключить,
что в то время число p считали равным дроби (16/9)2,
или 256/81, т.е. p = 3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших
религий, существовавших в Индии и возникшей в
VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует,
что число p в то время принимали равным , что
даёт дробь 3,162...
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение
окружности сводили к построению отрезка, а измерение
круга - к построению равновеликого квадрата. Следует
заметить, что на протяжении многих столетий математики
разных стран и народов пытались выразить отношение
длины окружности к диаметру рациональным числом.
Последнее предложение Архимед обосновал последовательным
вычислением периметров правильных вписанных и
описанных многоугольников при удвоении числа их
сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных
описанного и вписанного шестиугольников, затем
двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления
до периметров правильного вписанного и описанного
многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам
Архимеда отношение окружности к диаметру заключено
между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает,
что p = 3,1419... Истинное значение этого отношения
3,1415922653...
В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи
было найдено более точное значение этого числа:
3,1415927...
Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека,
возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши
вычислил p с 16 десятичными знаками. Он сделал
27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл
до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши
произвёл уникальные расчёты, которые были нужны
для составления таблицы синусов с шагом в 1'.
Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл
число p только с 9 правильными десятичными знаками,
сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников.
Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно
отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это
открытие имело большое значение, так как позволило
вычислить p с какой угодно точностью. Только через
250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности
к диаметру современным символом p английский математик
У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял
первую букву греческого слова "periferia",
что в переводе означает "окружность".
Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным
после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался
введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта
доказал, что число p иррационально. Затем немецкий
математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования
Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что
это число не только иррационально, но и трансцендентно,
т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения.
Из последнего следует, что с помощью только циркуля
и линейки построить отрезок, равный по длине окружности,
н е в о з м о ж н о, а следовательно, не существует
решения задачи о квадратуре круга.
Поиски точного выражения p продолжались и после
работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик
из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое
историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных
знака. С тех пор (год публикации 1615) значение
числа p с 32 десятичными знаками получило название
числа Лудольфа.
К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин
Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако
в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс
в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке
и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального
исчисления было найдено много формул, которые
содержат число "пи". Некоторые из этих
формул позволяют вычислить "пи" приёмами,
отличными от метода Архимеда и более рациональными.
Например, к числу "пи" можно прийти,
отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц
(1646-1716) получил в 1674 г. ряд
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p/4,
который дал возможность вычислить p более коротким
путём, нежели Архимед. Всё же указанный ряд сходится
очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных
расчётов. Для вычисления "пи" удобнее
использовать ряд, получаемый от разложения arctgx
при значении x=1/, при котором разложение функции
arctg 1/=p/6 в ряд даёт равенство
p/6 = 1/[1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3
+ ...],
т.е.
p = 2[1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 +
...]
Частично суммы этого ряда можно вычислять по
формуле
Sn+1 = Sn + (2)/(2n+1) * (-1/3)n,
при этом "пи" будет ограничено двойным
неравенством:
S2n < p < S2n+1
Ещё более удобную формулу для вычисления p получил
Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил
p (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков.
Хорошее приближение для "пи" даёт выражение
p = +
Однако следует помнить, что это равенство надо
рассматривать как приближённое, т.к. правая часть
его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное,
следовательно, эти числа равными быть не могут.
Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые
годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские
учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь приёмами
приближённых вычислений числа p, нашли способ
разложения arctgx в степенной ряд, подобный ряду,
найденному Лейбницем. Индийские математики дали
словесную формулировку правил для разложения в
ряды синуса и косинуса. Этим они предвосхитили
открытие европейских математиков XVII в. Тем не
менее их изолированные и ограниченные практическими
потребностями вычислительные работы никакого влияния
на дальнейшее развитие науки не оказали.
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С
их помощью число "пи" вычислено с точностью
более миллиона знаков после запятой, причём эти
вычисления продолжались только несколько часов.
В современной математике число p - это не только
отношение длины окружности к диаметру, оно входит
в большое число различных формул, в том числе
и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу
Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа p
и числа e следующим образом:
e2 pi = 1, где i = .
Эта и другие взаимозависимости позволили математикам
ещё глубже выяснить природу числа p.
cialis viagra buy cheap levitra online |
