На
круглых дураков число "пи" не распространяется.
В. Шендерович
Абсолютно все знают, что такое p. Но знакомое
всем со школы число возникает во многих ситуациях,
не имеющим никакого отношения к окружностям. Его
можно встретить в теории вероятностей, в формуле
Стирлинга для вычисления факториала, в решении
задач с комплексными числами и прочих неожиданных
и далеких от геометрии областях математики. Английский
математик Август де Морган назвал как-то p “…загадочным
числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно
и через крышу”. Это таинственное число, связанное
с одной из трех классических задач Античности
- построение квадрата, площадь которого равна
площади заданного круга - влечет за собой шлейф
драматических исторических и курьезных занимательных
фактов. В каждой книге по занимательной математике
вы непременно найдете историю вычисления и уточнения
значения числа p. Сначала, в древних Китае, Египте,
Вавилоне и Греции для расчетов использовали дроби,
например, 22/7 или 49/16. В Средние века и Эпоху
Возрождения европейские, индийские и арабские
математики уточнили значение p до 40 знаков после
десятичной точки, а к началу Эпохи Компьютеров
усилиями многих энтузиастов количество знаков
было доведено до 500.
Такая точность имеет чисто научный интерес (об
этом ниже), для практики, в пределах Земли достаточно
11 знаков после точки. Тогда, зная, что радиус
Земли равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров,
получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру
p после точки при вычислении длины меридиана,
ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете
длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца
(как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для
такой же точности достаточно использовать p с
четырнадцатью знаками после точки. Среднее расстояние
от Солнца до Плутона - самой далекой планеты Солнечной
системы - в 40 раз больше среднего расстояния
от Земли до Солнца. Для вычисления длины орбиты
Плутона с ошибкой в несколько миллиметров достаточно
шестнадцати знаков p. Да что уж там мелочиться
- диаметр нашей Галактики около 100.000 световых
лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или
1018 км или 1030 мм., а еще в XXVII веке были
получены 34 знака p, избыточные для таких расстояний.
В чем же сложность вычисления значения p? Дело
в том, что оно не только иррациональное (то есть
его нельзя выразить в виде дроби P/Q где P и Q
целые числа), но оно еще не может быть корнем
алгебраического уравнения. Число , например, иррациональное,
не может быть представлено отношением целых чисел,
но оно является корнем уравнения Х2-2=0, а для
чисел p и е (постоянная Эйлера), нельзя указать
такое алгебраическое (не дифференциальное) уравнение.
Такие числа называются трансцедентными и вычисляются
рассмотрением какого-либо процесса и уточняются
за счет увеличения шагов рассматриваемого процесса.
Самый “простой” путь - вписывать в окружность
правильный многоугольник и вычислять отношение
периметра многоугольника к его “радиусу”. При
увеличении числа сторон это отношение будет стремиться
к удвоенному p. Так, например, в 1593 году Адриан
ван Ромен вычислил периметр вписанного правильного
многоугольника с 1073741824 (т.е. 230) сторонами
и определил 15 знаков p. В 1596 году Лудольф ван
Цейлен получил 20 знаков, рассчитав вписанный
многоугольник с 60*233 сторонами.
Еще один путь вычислителей p - через формулы
с бесконечным числом членов:
p=2*(2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7)
p=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-….)
Подобные формулы можно получить, раскладывая,
например, арктангенс в ряд Маклорена, зная, что
arctg(1)=p/4 (потому что tg(450)=1 - это знает
даже наша кошка) или раскладывая в ряд арксинус,
зная, что arcsin(0.5)=p/6 (катет, лежащий против
угла в 300…). Много необычных формул и историю
уточнения знаков p вы найдете на страничке http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pigeometry.html
. А если вы заинтересовались программами по уточнению
значения p, то посетите http://gallery.uunet.be/kurtvdb/pi.html
. А теперь предлагаю всем прикоснуться к вершине
достижения человеческого разума, впитавшего знания,
энтузиазм и судьбы тысяч математиков-вычислителей
за последние 4000 лет и, ощущая трепет, рассмотреть
первые 1000 знаков числа p.
p = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Цифры десятичного представления числа p достаточно
случайны, что дает повод для математических курьезов
и околонаучных спекуляций. Например, можно смело
утверждать, что в разложении p встретятся шесть
подряд девяток, и действительно, в пятом столбце
третья снизу строка их содержит. Или страшнющие
три шестерки, среди представленных цифр их нет
(и очень хорошо), но они непременно появятся при
увеличении количества рассматриваемых знаков.
Чувствуете парадокс? В десятичном разложении
p присутствует любая последовательность цифр,
просто надо ее найти. В числе p сидят в закодированном
виде все написанные и не написанные книги, любая
информация, которая может быть выдумана, уже заложена
в p. Надо только рассмотреть побольше знаков,
найти нужный участок и расшифровать его. Это чем-то
сродни парадоксу со стадом шимпанзе, долбящем
по клавиатуре. При достаточно долгом (можно даже
оценить это время) эксперименте они напечатают
все пьесы Шекспира. Тут же напрашивается аналогия
с периодически появляющимися сообщениями о том,
что в Ветхом Завете, якобы, закодированы послания
потомкам, поддающиеся прочтению с помощью хитроумных
программ. Отметать сходу такую экзотическую особенность
Библии не совсем мудро, кабаллисты веками занимаются
поиском таких пророчеств, но хотелось бы привести
сообщение одного исследователя, который с помощью
компьютера нашел в Ветхом завете слова о том,
что в Ветхом Завете нет никаких пророчеств. Скорее
всего, в очень большом тексте, так же, как и в
бесконечных цифрахp, можно не только закодировать
любую информацию, но и “найти” фразы, изначально
не заложенные туда. Очень хотелось бы ошибаться,
так же, как хочется верить в сказки и чудеса.
Ну а теперь я предлагаю на минуточку забыть,
все, что вы прочитали о числе p и попробовать
определить его, заходя совсем с другой стороны.
Причем, обращаю внимание читателей, это будет
вторая попытка журнала подобраться к числу p,
первая была совершена в журнале "Hard'n'Soft"
№8 2001 в статье Андрея Теплякова “Моделируя жизнь”,
где успешно подтвердили первые знаки с помощью
метода Монте-Карло. Важность таких попыток обусловлена,
помимо любопытства, еще и гипотезой о том, что
все (или некоторые) универсальные постоянные (постоянная
Планка, число Эйлера, универсальная гравитационная
постоянная, заряд электрона и т.д.) со временем
меняют свои значения, так как меняется кривизна
пространства из-за перераспределения материи или
по другим, не известным нам причинам. Рискуя навлечь
гнев просвещенного сообщества, можем предположить,
что и рассматриваемое сегодня число p, отражающее
свойства Вселенной, может со временем меняться.
Во всяком случае, никто не может нам запретить
заново найти значение p, подтвердив (или не подтвердив)
имеющиеся значения. А начнем мы с далекой, казалось
бы, области математики - теории простых чисел.
Математики нашли новое число - "Во",
они прибавляют его к числу "Пи" и очень
довольны
Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован
и одновременно ощущает
собственное бессилие. Определение простых чисел
так просто
и очевидно; найти очередное простое число так
легко; разложение на
простые сомножители - такое естественное действие.
Почему же простые
числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам
постичь порядок и
закономерности их расположения? Может быть, в
них вообще нет
порядка, или же мы так слепы, что не видим его?
(Ч. Узерелл. Этюды для программистов. М. Мир 1982)
Возможно, из всех занимательных задач в теории
чисел самая популярная - это поиск простых чисел.
Подобно золотым самородкам, они скрываются в "породе"
остальных чисел. Напомним, что простое число это
то, которое не делится ни на какое другое кроме
1 и на само себя. Такие числа редки. Правда, у
самых истоков реки Континуума (множества всех
чисел), пока числа не велики, они встречаются
довольно часто, но затем быстро растворяются в
потоке, по мере того, как величина чисел растёт.
Неравнодушно, если не сказать восторженно пишет
о простых числах мэтр современной популярной математики
Мартин Гарднер в своей книге "Математические
досуги" (М.Мир 1972 стр. 410): "Ни одному
другому разделу теории чисел не свойственно столько
загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся
изучением простых чисел - непокорных упрямцев,
упорно не желающих делиться ни на какие числа,
кроме единицы и самих себя. Некоторые задачи,
относящиеся к теории распределения простых чисел,
формулируются настолько просто, что понять их
может и ребёнок. Тем не менее они настолько глубоки
и далеки от своего решения, что многие математики
считают их вообще не разрешимыми. Может быть,
в теории чисел так же как и в квантовой механике,
действует своё собственное соотношение неопределённости
и в некоторых её разделах имеет смысл говорить
лишь о вероятности того или иного результата?"
Некоторые статьи М. Гарднера из цитируемой книги
выложены на лучшем головоломочном сайте Рунета
http://www.golovolomka.hobby.ru , о простых числах
статьи пока нет. Существуют различные способы
поиска простых чисел. Можно даже построить специальное
просеивающее устройство, подобное промывным желобам,
которые старатели применяют при поиске самородков,
но так или иначе их приходится искать, потому
что никто не знает, где они встретятся.
Есть, правда, кое-какие геологические приметы,
по которым можно искать их залежи. Так же как
когда-то тысячи золотоискателей бросились в Калифорнию
и на Юкон промывать песок в горных речушках в
поисках крупинок жёлтого металла, так и наши читатели
могут отправиться в страну чисел, но налегке,
вооружившись лишь этим маленьким руководством.
(Аналогия золотых крупинок в песке заимствована
из отличной статьи А.К. Дьюдни “Просеивание числового
песка в поисках простых чисел” в “Scientific American”
и выложенной на русском языке на http://www.helloworld.ru/texts/comp/algor/chisl/simple/index.htm
) Наверное, немногие математические понятия настолько
доступны далёкому от математики человеку, как
понятие простые числа. Любому встретившемуся на
улице можно за минуту объяснить, что такое простые
числа. Поняв, человек без труда напишет: 2,3.5,7,11,13,17
и т.д. Единица обычно не считается простым числом.
Возможно ли распознать простые числа, как говориться,
с первого взгляда? Если вы зачерпнули в сито сразу
много чисел, сверкнёт ли среди них простое, как
золотой самородок? Некоторые считают, что да.
Например, числа оканчивающиеся на 1 часто оказываются
искомыми, такие как 11,31,41. однако при этом
следует быть осторожными и не принять фальшивое
золото за чистое, как скажем, 21 или 81. По мере
роста величины чисел, единица на конце всё чаще
вводит в заблуждение. Создаётся даже впечатление
будто простые числа в конце концов просто исчезают,
как полагали некоторые древние греки.
|
